ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)

Числа и фигуры. Опыты математического мышления. Радемахер, Теплиц. — 1962 г.

Г. Радемахер, О. Теплиц

Числа и фигуры

Опыты математического мышления

Библиотека математического кружка. Выпуск 10

*** 1962 ***



DjVu

 

      СОДЕРЖАНИЕ
     
      От редактора 5
      Предисловие к первомунемецкомуизданию 7
      Предисловие ко второмунемецкомуизданию 10
      1. Ряд простых чисел 11
      2. Маршруты в сети кривых 17
      3. Несколько задач иа максимум 22
      4. Несоизмеримые отрезки н иррациональные числа 29
      5. Одно минимальное свойство треугольника, образованного основаниями высот, по Г. Шварцу 36
      6. То же минимальное свойство треугольника по Л. Фейеру 40
      7. Элементы теории множеств 47
      8. Сечения прямого кругового конуса 58
      9. О комбинаторных задачах 60
      10. Проблема Варннга 72
      11. О замкнутых самопересекающихся кривых 78
      12. Однозначно ли разложение числа на простые сомножители? 85
      13. Проблема четырех красок 95
      14. Правильные многогранники 106
      15. Пифагоровы числа и понятие о теореме Ферма 113
      16. Замыкающая окружность точечной совокупности 122
      17. Приближенное выражение иррациональных чисел через рациональные 131
      18. Шарнирные прямолинейно-направляющие механизмы.140
      19. Совершенные числа 152
      20. Доказательство неограниченности ряда простых чисел
      по Эйлеру 160
      21- Принципиальные основы задач на максимум 164
      22.Фигура, имеющая наибольшую площадь при данном периметре (четырехшарнирный метод Штейнера) 169
      23. Периодические десятичные дроби 174
      24. Об одном характеристическомсвойстве окружности 192
      25. Кривые постоянной ширины 195
      26. Необходимость циркуля в построениях элементарной геометрии 211
      27. Об одном свойстве числа 30 224
      Дополнения и примечания 231

     

      ОТ РЕДАКТОРА
      Книга видных немецких ученых Ганса Радемахера и Отто Теплица «Числа и фигуры» занимает в ряду научно-популярных сочинений по математике совершенно особое место. Вышедшая первым изданием еще в 1930 г. и затем неоднократно переиздав твшаяся и переводившаяся, эта книга вполне может быть включена в число «классических» сочинений, хорошо известных всем, интересующимся вопросами популяризации математики, и оказавших значительное влияние на всю последующую литературу такого рода. Очень большое влияние оказала эта книга, ранее уже дважды издававшаяся на русском языке (в 1936 и в 1938 гг.), и на нашу научно-популярную литературу, в частности на серию книг «Библиотека математического кружка».
      Весьма удачной следует признать основную идею авторов — создание своеобразной «математической хрестоматии» из ряда внешне не связанных между собой отрывков, излагающих изолированные вопросы, относящиеся к разным разделам математики. Все эти отрывки в совокупности должны создать у читателя достаточно пелыюс впечатление, если не о математической науке, то о математическом мышлении, ознакомление с которым является значительно более важной задачей, чем просто ознакомление с математическими фактами. И этой последней цели книга Г. Радемахера и О. Теплица достигает в наилучшей степени — это обеспечивается и очень тщательным подбором тем, весьма элементарных по используемому аппарату, но достаточно глубоких и содержательных по существу затрагиваемых проблем, и продуманным изложением, выделяющим узловые моменты доказательств и подчеркивающим идейную сторону вопроса. Эта книга впервые раскрыла все возможности, заложенные в подобной системе изложения — и за ней последовали многочисленные «математические хрестоматии» сходного рода, ни одна из которых, впрочем, не имела
      успеха этой книги. Сильно сказалось появление книги Радемахера и Теплица и на деятельности школьных и студенческих математических кружков, культивируя в них изложение разрозненных «математических этюдов» в противоположность кружкам с четко очерченной тематикой.
      Настоящее, третье, русское издание книги Г. Радемахера и О. Теплица включается в серию книг «Библиотека математического кружка», рассчитанную на школьников старших классов и студентов младших курсов и предназначенную для использования в математических кружках; можно только пожалеть, что она не составляет первого выпуска этой серии, созданной под заметным влиянием настоящей книги. При подготовке этого издания мы отказались о г каких бы то ни было дополнений и изменений в основном тексте, хотя было бы нетрудно указать ряд тем, «напрашивающихся» в эту книгу, а в отдельных случаях можно было бы предложить некоторые усовершенствования в принятом здесь изложении. Зато заново составлены «Примечания и дополнения» к книге, в которых частично использованы и авторские «Примечания и дополнения». Здесь, в частности, имеются многочисленные ссылки на более позднюю литературу, в первую очередь — на другие книги серии «Библиотека математического кружка». Эти «Примечания» вполне могут быть опущены при первоначальном чтении книги; они, однако, окажутся полезными докладчику, выступающему в математическом кружке с сообщением по этой книге, а также руководителю кружка, или читателю, желающему углубить и дополнить содержащийся здесь материал.
      И. М. Яглом
     
      За своеобразной символикой формул, за интегралами и сигмами, словно за высокой стеной, уединилась математика от окружающего ее мира. То, что происходит за этой стеной, остается обычно тайной для непосвященного, и в стремлении ее разгадать он представляет себе бескровный механизм «мертвых чисел», функционирующий по законам внутренней необходимости. Тому же, кто остается за стеной, она зачастую закрывает горизонт, мешает взглянуть на внешний мир; он увлекается возможностью оценивать математические факты собственными мерками и находит тщеславное удовлетворение в том, что в его владения не проникает профан.
      Нельзя ли пробить эту непроницаемую стену и открыть математику «непосвященному» и притом так, чтобы это принесло ему переживание собственного активного участия в математическом познании и творчестве? Может быть такое «активное» восприятие математики доступно лишь узкому кругу «математически одаренных»? Конечно, математическим дарованием в собственном смысле слова, т. е. способностью самостоятельно открывать новые математические истины, наделены лишь немногие. Но ведь, например, и музыкальным дарованием, т. е. уменьем создавать музыкальные произведения достаточно высокой ценности, также обладают лишь немногие. Между тем мы встречаем множество людей, понимающих музыку, способных «музицировать», во всяком случае находящих в музыке радость. Нам кажется, что если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым весьма многие под влиянием случайных школьных впечатлений сторонятся всего, связанного с математикой, то людей, склонных «импровизировать» в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки.
      Задача, которую мы себе ставим, и заключается как раз в том, чтобы показать, что предубеждение против математики исчезает, если только заложенный в основе математического произведения замысел представить в раскрытом виде, не заг ро-можденном ни формулами, ни сложными вычиспениями. Мы стремимся дать здесь представление о многообразии всех тех явлений, которые объединяются понятием «математика», представление о математике как таковой, о внутренней ее ценности, которой она обладает сама по себе.
      Уже много раз пытались говорить о математике, обращаясь к нематематикам. При этом некоторые, стремясь найти доступ к читателю, старались выдвигать на первый план практическое ее значение: указывали на пользу, которую математика может представить в технических или иного рода применениях, иллюстрируя это удобопонятными примерами. Другие писали книги о математических играх и развлечениях; в них встречается много забавного, но они дают лишь карикатуру на то, что собственно следует называть математикой. Наконец, третьи излагали основания математики в плане общих философских значений; читатель, интересующийся чистой математикой, с особым увлечением занялся бы именно такой оценкой математики — с точки зрения теории познания и общего мировоззрения. Нам, однако, и этот подход представляется по существу лишь внешним подходом к математике, стремлением оценивать математику масштабами, лежащими вне ее самой.
      В этой книге мы не имеем возможности осветить то влияние, которое излагаемые здесь идеи оказывают на самую математику, рассмотреть те, если можно так выразиться, внутренние приложения, которые одна область математики находит в другой. Иначе говоря, мы вынуждены здесь отказаться от попытки передать нечто весьма существенное для природы математического здания: от раскрытия поразительных внутренних связей, пронизывающих это здание во всех направлениях. В этом пункте наше самоотречение не добровольно, ибо грандиознейшие открытия были сделаны как раз при прокладке таких внутренних связей, при установлении этих широких взаимозависимостей. Однако для ознакомления с ними от читателя потребовалась бы обширная и углубленная подготовка, более того — основательная тренировка, а это уже не входит в наши намерения. Короче говоря, центр тяжести нашего изложения будет лежать не в фактах, в которых обычно раскрывается содержание науки перед неспециалистом, а в типах математических феноменов (явлений), в методике постановки вопросов, в поисках решения поставленных вопросов. Понимание больших математических произведений, широкообъемлющих теорий требует, конечно, продолжительной подготовки и значительных усилий. Но то же самое относится и к музыке. Человек, впервые попавший на концерт, едва ли сумеет оценить «Искусство фуги» Баха и охватить строение симфонии. Но ведь наряду с грандиозными музыкальными композициями существуют и так называемые «малые формы», в которых таится подчас обаяние большого искусства и гений которых может быть раскрыт каждому. Такие же «малые формы» хотелось нам извлечь здесь и из обширного мира математики: ряд тем, из которых каждая может быть понята сама по себе, каждая несет свою внутреннюю ценность. В лекционном изложении такая тема укладывается в час, причем слушатель не утруждается связью с другими темами или школьной наукой. Теоремы о равенстве треугольников и правила умножения скобок читатель вспомнит постепенно при чтении.
      Эстетическая ценность музыкального произведения заключена не в одной только ведущей линии мелодии: легкая вариация основной темы, неожиданная модуляция может сообщить всему произведению новое заострение, однако уловить и ошутить это будет способен лишь тот, кто предварительно прислушается к основной теме. В этом же смысле и наш читатель должен «прислушаться» к основному мотиву проблемы, которым открывается та или иная тема, к ее постановке, к первым простым примерам, которыми эта тема подкрепляется, прежде чем развернется решительный штурм центральной идеи; он должен следовать за ходом мысли несколько более активно, чем это обычно требуется при чтении. Тогда перед ним исчезнут все препятствия к овладению основным замыслом. Ему будет дано как бы соучаствовать в драме «искания — открытия» некоторых великих мыслителей, которые, покидая иногда обширные здания создаваемых ими общих теорий, возводили тот или иной простой математический факт в небольшое законченное произведение искусства, являвшее в себе фрагментарный прообраз «математического».
      Г. Радемахер, О. Теплиц
     
      Второе издание лишь очень немногим отличается от первого. Тема восьмая («Сечения прямого кругового конуса») заменена менее известной темой из комбинаторики *). В шестой теме, с любезного разрешения автора, приведено одно еще неопубликованное доказательство, замечательное своей простотой и близкое и по содержанию, и по методу к предмету этой темы.
      Некоторые критики ставили нам на вид, что в нашей книге обижены те или иные отделы математики; при этом одни имели в виду алгебру, другие — геометрию. Мы отступили бы от задач этой книги, намеченных в предисловии к ее первому изданию, если бы приняли во внимание эти возражения. Тема сама по себе нигде не была для нас решающей; все зависело от того, можно ли было изложить ее настолько просто без апелляции к чему-либо, известному читателю заранее, и настолько строго, насколько это попытались сделать мы в нижеследующих двадцати семи этюдах. Чтобы дать читателю то представление о математике, к которому мы здесь стремились, совершенно не важно, из каких специальных дисциплин почерпнуты наши темы. Прием, который книга встретила среди читателей и у большинства критиков, свидетельствует, как нам думается, о том, что наши намерения были поняты в общем правильно.
      Г. Радемахер, О. Теплиц
      *) В русском издании оставлена также и тема о сечениях прямого кругового конуса. (Прим. перев.)


      KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА

 

 

ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)


ТС БК-МТГК 2015—3015 karlov@bk.ru — Борис Карлов