ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)


Геометрические преобразования. Часть 2. Линейные и круговые преобразования. Яглом И. М. — 1956 г.

Исаак Моисеевич Яглом

Геометрические преобразования
Часть 2
Линейные и круговые преобразования

Библиотека
математического кружка.
Выпуск 8

*** 1956 ***


DjVu

 

      СОДЕРЖАНИЕ
     
      Предисловие
      ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
      ЛИНЕЙНЫЕ И КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
      Введение. Что такое геометрия? (Окончание)

      Глава I. Линейные преобразования
      § 1. Параллельное проектирование плоскости на плоскость.
      Линейные преобразования плоскости
      § 2. Центральное проектирование плоскости на плоскость. Обобщённые линейные (проективные) преобразования плоскости
      § 3. Центральное проектирование, переводящее заданную окружность в окружность. Стереографическая проекция
      § 4. Полярное преобразование плоскости. Принцип двойственности
      § 5. Проективные преобразования прямой н окружности. Построения с помощью одной линейки
      Приложение кгл.1. Неевклидова геометрия Лобачевского (первое изложение)

      Глава II. Круговые преобразования
      § 1. Симметрия относительно окружности (инверсия)
      § 2. Применение инверсии к решению задач на построение
      Построения с помощью одного циркуля
      § 3. Пучки окружностей. Радикальная ось двух окружностей
      § 4. Инверсия (окончание)
      § 5. Осевые круговые преобразования
      Приложение к гл. II. Неевклидова геометрия Лобачевского (второе изложение)
     
      РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
      Глава I. Линейные преобразования
      Глава II. Круговые преобразования
      Список задач, иные решения которых содержатся в других книгах
      Предметный указатель

     

      Настоящий второй том «Геометрических преобразований» посвящён так называемым линейным и круговым преобразованиям, которые проходятся на математических отделениях пединститутов и университетов, но совсем не затрагиваются программой средней школы (в вузах эти преобразования чаще называют проективными и конформными). Однако книга эта адресована в первую очередь читателям, так или иначе связанным именно со средней школой, — учащимся и учителям школ, студентам и преподавателям институтов. Соответственно этому основная цель её состоит в том, чтобы показать тесную связь рассматриваемых здесь преобразований с элементарной геометрией; от изложения более высоких теорий, связанных с геометрическими преобразованиями, автору пришлось отказаться почти полностью, так как книга и без того оказалась более толстой, чем это ему бы хотелось. Единственные значительные отступления в область «высшей геометрии» представляют собой приложения к главам I и И, посвящённые неевклидовой геометрии Лобачевского; впрочем, и здесь автор стремился к максимальной элементарности, так что эти приложения также должны быть вполне доступны интересующимся математикой школьникам старших классов.
      Существенную часть содержания книги составляют задачи, сопровождаемые решениями, приведёнными в конце. Основной текст нигде не зависит от задач; однако нам кажется, что ознакомление по крайней мере с частью из них будет очень значительно способствовать глубине понимания материала книги. Все задачи относятся к элементарной геометрии; исключение представляют лишь задачи приложений, которые преследуют цель хотя бы немного ознакомить читателей с конкретными теоремами неевклидовой геометрии. Решения задач иногда сопровождаются замечаниями общего характера, относящимися
      к методике использования рассматриваемых в книге преобразований; в одном случае автор не удержался от соблазна приложить к решению задачи более обширное примечание, указывающее возможность довольно широкого развития .изложенных в книге теорий (см. решение задачи 300). Второй том книги в основном не зависит от первого; в частности, первый том вполне может быть заменён планиметрической частью какого-либо из «больших» учебников элементарной геометрии («Элементарная геометрия» Ж. Адамара или «Курс элементарной геометрии» Д. И. Перепёлкнна). Однако введение к третьей части книги и приложения к главам I и II этой части непосредственно апеллируют к введениям к первой и второй частям первого тома. Также и в части терминологии второй том, естественно, весьма строго следует за первым. Для того чтобы облегчить читателям возможные обращения к первому тому книги, в конце помещён предметный указатель, относящийся сразу к обоим томам.
      Каждая глава третьей части представляет собой самостоятельное целое; вторую из них вполне можно читать раньше первой. Введение к части третьей, а также приложения к главам I и II при первом чтении книги могут быть опущены; однако было бы жалко, если бы читатель совсем пропустил их. В первой главе может быть опущен также последний параграф, стоящий в книге особняком. Во второй главе можно считать дополнительными последние три параграфа; читать их можно в любом порядке. Из этих параграфов мне бы хотелось в первую очередь порекомендовать читателям весьма принципиальное заключение § 4 (стр. 246 — 253; мелкий шрифт здесь, как и всюду в книге, можно считать необязательным), а также изящный (хоть и большой по объёму) § 5, который, вероятно, многим покажется довольно неожиданным.
      И. М. Яглом
     
      ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
      ЛИНЕЙНЫЕ И КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
      ВВЕДЕНИЕ ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ? (ОКОНЧАНИЕ)
      Во введении к первой части книги мы определили геометрию как науку, изучающую те свойства геометрических фигур, которые ие меняются при движениях. Во введении ко второй части мы дали новое определение геометрии как науки, изучающей свойства геометрических фигур, не меняющиеся при преобразованиях подобия. Возникает вопрос о том, совпадают ли эти определения полностью, т. е. являются ли они различными определениями одной и той же науки, или же существуют две различные геометрии, причём во введении к первой части мы говорили об одной из них, а во введении ко второй части — о другой. Мы покажем здесь, что в действительности правильным является второй ответ па наш вопрос, т. е. что существуют две разные геометрии (хотя и очень близкие между собой). Логическим развитием этого факта явится предложение о существовании многих различных геометрий; одной из наиболее интересных геометрий, существенно отличающейся от обычной, является неевклидова геометрия Лобачевского, которой будут посвящены приложения к главам I и II настоящей части.
      Во введении ко второй части мы признали нецелесообразным предложенное ранее определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при движениях. При этом мы основывались на следующих доводах. Движения — это такие преобразования плоскости, которые не меняют расстояния между двумя точками. Но величина, выражающая расстояние, зависит от той единицы длины, при помощи которой это расстояние измеряется. А так как геометрическое предложение не может зависеть от выбора единицы длины,
      то отсюда следует, что в геометрических теоремах не могут фигурировать длины отрезков, а только отношения этих длин; это н означает, что подобные между собой фигуры не различимы для геометрии.
      Однако это рассуждение, вполне верное, когда речь идёт о теоремах элементарной геометрии, перестаёт оставаться справедливым при переходе к геометрическим задачам, в частности — к задачам на построение. В этих задачах длина отрезка задаётся не числом, а при
      помощи отрезка, равного данному. Так, например, если в задаче требуется построить треугольник ABC, зная длины двух его сторон АС и АВ и длину медианы CD, то это значит, что нам даны отрезки, равные отрезкам АС, АВ g и CD (черт. 1). Таким образом, здесь у нас фигурируют непосред-Черт. 1. ственно длины отрезков, а не отношения длин, и теперь подобные (но не обязательно равные!) треугольники уже не будут для нас равноправны; если один из этих треугольников является решением нашей задачи, то другие (не равные ему) условиям задачи не удовлетворяют. Итак, мы видим, что, в то время как все теоремы элементарной геометрии охватываются определением геометрии, которое было дано во введении ко второй части книги, задачи на построение выпадают из этих рамок (они существенно опираются на определение геометрии, приведённое во введении к первой части). Это обстоятельство и является главной причиной того, что в учебнике Киселёва изложение базируется
      на первом определении геометрии и соответственно этому начинается с теорем о равенстве треугольников; если считать, что подобные треугольники не различимы между собой, то эти теоремы являются бессодержательными, так как само понятие равенства в этом случае не имеет смысла.
      Таким образом, мы приходим к выводу, что во введении к первой части и во введении ко второй части мы определили две различные геометрии. При этом все свойства фигур во второй геометрии (которую удобно называть геометрией подобий) относятся также и к первой геометрии (к геометрии движений): действительно, каждое свойство фи-
      гуры, сохраняющееся при преобразованиях подобия, сохраняется также и при движениях. Однако обратное предложение неверно: в геометрии движений фигуры имеют больше свойств, чем в геометрии подобий (в геометрии движений расстояние между двумя точками фигуры является её геометрическим свойством, а в геометрии подобий можно рассматривать только отношения расстояний). Это обстоятельство является причиной того, что в геометрии подобий имеется значительно меньше задач на построение, чем в геометрии движений *).
      Вдумаемся теперь в то, каким образом мы пришли к определению наших двух геометрий. Геометрия движений определялась как наука, изучающая свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при движениях; в этой геометрии две фигуры, переводимые одна в другую движением, т. е. две равные фигуры, являются неразличимыми. Геометрия подобий определялась как наука, изучающая свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при преобразованиях подобия; в этой геометрии «равными», т. е. не различимыми между собой, являются подобные фигуры. Но можно дальше пойти по этому пути, выбрав ещё какую-нибудь совокупность преобразований и объявив «равными» между собой в смысле новой геометрии фигуры, переводимые друг в друга преобразованиями нашей совокупности ’). При этом мы придём к новой геометрии, которая определится как наука, изучающая свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при преобразованиях выбранной нами совокупности геометрических преобразований.
      Теперь мы подошли уже совсем близко к окончательному ответу на вопрос, стоящий в заголовке введений ко всем частям этой книги. Для того чтобы дать полное определение геометрии (или, точнее, определение множества различных
      *) В геометрии подобий возможны лишь такие задачи на построение, в которых задаются какие-либо углы между линиями фигуры и отношения расстояний между её точками, так как в этой геометрии только углы и отношения расстояний являются геометрическими свойствами фигуры. Так, например, в геометрии подобий можно поставить задачу: построить треугольник ABC, зная угол А и отношения длин биссектрисы и высоты, проведённых из вершины В. При этом решить эту задачу — это значит иайти какой-нибудь из множества подобных между собой треугольников (неразличимых в геометрии подобий), имеющих данный угол и данное отношение биссектрисы к высоте.
      *) Примеры совокупностей преобразований более общих, чем преобразования подобия, читатель найдёт ниже в главах I и II этой части книги.
      геометрий), нам осталось, только выяснить, всякая ли совокупность геометрических преобразований может быть положена в основу определения геометрии.
      Нетрудно понять, что ответ на последний вопрос является отрицательным. Так, например, нельзя определить «геометрии симметрий», т. е. науки, изучающей такие свойства геометрических фигур, которые одинаковы у двух фигур, симметричных относительно прямой, и только у таких фигур (свойства, не меняющиеся при симметриях относительно прямой). Действительно, в этой геометрии две фигуры F и F', симметричные относительно прямой, должны были бы обладать одинаковыми «геометрическими свойствами», так же как и
      фигуры F и F", симметричные отно-т снтельно прямой т (черт. 2). В то же время свойства фигур F' и F' должны быть уже различными (эти фигуры не симметричны между собой, а следовательно, «не равны» в смысле нашей геометрии). Но это противоречит тому, что свойства обеих фигур, как F, так и F', совпадают со свойствами фигуры F.
      После этого примера становится Черт. 2. довольно ясным, какими свойствами должна обладать совокупность преобразований для того, чтобы, исходя из этих преобразований, можно было определить некоторую «геометрию». «Равенство» фигур определяется в нашей геометрии следующим образом: фигура F «равна» фигуре F в том и только в том случае, если F можно перевести в F каким-либо преобразованием заданной совокупности преобразований. Для того чтобы это «равенство» имело смысл, необходимо, очевидно, чтобы оно обладало следующими свойствами:
      (...)
      Также не составляет группы и совокупность симметрий относительно всевозможных прямых плоскости: здесь не выполняются ни условие 3е («сумма» двух симметрий относительно прямых представляет собой уже не симметрию, а вращение или параллельный перенос; см. § 1 гл. II первой части), ни условие 1° (тождественное преобразование нельзя представить себе как симметрию относительно какой-либо прямой).
      Теперь определение геометрии, которое мы дали выше, можно сформулировать так: геометрия есть наука, изучающая свойства фигур, не меняющиеся при преобразованиях некоторой группы преобразований. Согласно этому определению имеется не одна, а много геометрий; чтобы придти к какой-либо из них, достаточно выбрать каким-либо образом группу преобразований. Частными случаями рассматриваемых геометрий являются «геометрия движений» и «геометрия подобий», изучаемые в школе. В приложениях к главам I и II третьей части книги мы покажем, что и к неевклидовой геометрии Лобачевского можно также придти естественным путём, если исходить из приведённого общего определения геометрии.
      Определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при преобразованиях какой-либо группы преобразований, также принадлежит немецкому математику Ф. Клейну. Несмотря на то, что это определение не является самым общим (им не охватываются некоторые важные разделы современной геометрии), оно оказалось очень полезным и сыграло важную роль в развитии науки. В частности, поня-тпе группы преобразований ныне является одним из самых важных понятий всей современной математики *).
      Элементарная геометрия изучает только те геометрические фигуры плоскости, которые образованы прямыми линиями и окружностями. Ниже мы покажем, что преобразования подобия можно определить как такие преобразования плоскости, которые переводят каждую прямую линию в прямую линию и каждую окружность в окружность (см. теорему 1 из § 4 гл. И, стр. 247). В последующих двух главах мы рассмотрим преобразования плоскости, переводящие прямые линии в прямые линии, но не обязательно окружности в окружности
      *) Общему понятию группы, являющемуся основным в современной алгебре, посвящена хорошая популярная книга П. С. Александрова «Введение в теорию групп», Москва, Учпедгиз, 1951.
      (такие преобразования мы будем называть линейными преобразованиями), и преобразования, переводящие окружности сновСа в окружности, но не обязательно прямые в прямые (эти преобразования мы будем называть круговым и преобразованиями). Обе эти совокупности преобразований составляют группы *).
      Геометрия, определяемая с помощью группы линейных преобразований, называется проективной геометрией*). Геометрия, определяемая с помощью группы круговых преобразований, называется конформной или аналагматн-ческой геометрией. В настоящей книге мы не ставим своей целью изложить начальные сведения из проективной или аналагматической геометрий или хотя бы только познакомить читателя с основными методами и понятиями этих интересных и важных геометрий3). Задача нашего дальнейшего изложения будет значительно проще.
      Факт существования различных геометрий может принести большую пользу, если даже и не выходить за рамки элемен-
      *) Ясно, что если преобразование П переводит прямые в прямые, то и противоположное преобразование Р переводит прямые в прямые; если два преобразования П, и П, переводят прямые в прямые, то н их сумма 113 обладает этим свойством; при тождественном преобразовании прямые остаются прямыми — значит, линейные преобразования составляют группу. Аналогично показывается, что и совокупность круговых преобразований является группой.
      *) Точнее, проективная геометрия есть иаука, изучающая свойства геометрических фигур, не меняющиеся при обобщённых линейных (или проективных; см. § 2 гл. I) преобразованиях. Наука, изучающая свойства геометрических фигур, не меняющиеся при обыкновенных линейных (или аффинных; см. § 1'гл. 1) преобразованиях, называется аффинной геометрией.
      *) Проективная геометрия служит предметом обязательного изучения на математических факультетах пединститутов и университетов. Для первоначального ознакомления с этой замечательной наукой можно рекомендовать очень хорошую (хотя и не очень лёгкую) популярную книгу О. А. Вольберга «Основные идеи проективной геометрии», Москва, Учпедгиз, 1949; для более подготовленного читателя (например, уже прочитавшего книгу Вольберга) очень интересной может оказаться книга Дж. В. Юнга «Проактивная геометрия», Москва, ГИИЛ, 1949. По конформной (аналагматической) геометрии у нас, к сожалению, пока отсутствуют элементарные книги. Некоторое представление об этой науке читатель может получить нз прибавления М «Аналагматические свойства окружностей в пространстве» ко второму тому «Элементарной геометрии» Ж. Адамар а (1-е издание, Москва, Учпедгиз, 1939); заметим только, что это прибавление является довольно трудным.
      тарной геометрии Киселёва. Зная, что та или иная теорема на самом деле относится, например, к проективной геометрии, т. е. что свойства, о которых идёт речь в этой теореме, не меняются при произвольном линейном преобразовании, мы можем зачастую значительно упростить доказательство теоремы. Пусть, например, нам требуется доказать, что некоторые три прямые пересекаются в одной точке. Подвергнем чертёж задачи подходящим образом выбранному линейному преобразованию. При этом прямые llt lt и 13 перейдут в три новые прямые если три первые прямые пересекались в одной точке А, то три преобразованные прямые тоже будут пересекаться в одной точке А' (в которую переходит точка А при линейном преобразовании); обратно, если 1’г и Г3 пересекаются в одной точке, то пересекаются в одной точке. Таким образом, нам достаточно доказать, что преобразованные прямые пересекаются в одной точке, что может оказаться проще, чем доказательство аналогичного факта для исходных прямых. Подобный метод доказательства геометрических теорем иллюстрируется ниже большим числом разнообразных примеров.
      Заметим, что приёмы решения задач в третьей части книги несколько отличны от тех, с которыми читатель мог познакомиться по двум первым частям. Если применение движений или преобразований подобия в задачах первых двух частей сводилось к тому, что мы преобразовывали тем или иным образом известную часть чертежа задачи, то ниже нам весьма часто придётся преобразовывать весь чертеж. Ясно, что раньше преобразование чертежа в целом не могло принести нам никакой пользы: так как при движении чертёж не меняется (ибо в элементарной геометрии фигуры, различающиеся своим расположением, не отличаются одна от другой), то он не может стать проще первоначального. Однако при доказательстве теорем элементарной геометрии, на самом деле относящихся к проективной или аналагматической геометрии, преобразование чертежа в целом часто может принести значительную пользу.
      В связи с другим подходом к решению задач в последней части книги несколько изменяется и характер самих задач. В то время как в первых двух частях ббльшую часть задач составляли задачи на построение, в последней чаще встречаются задачи на доказательство. Однако иногда и при решении задач на построение использование линейных или круговых преобразований может оказаться полезным. Для примера можно назвать три следующие интересные задачи:
      а) вписать в данную окружность л-угольник, стороны которого проходят через л заданных точек плоскости (см. § 5 гл. I, задача 183а), стр. 119; § 2 гл. 11, задача 232, стр. 207; § 4 гл. И, задача 259, стр. 237);
      б) описать вокруг данной окружности л-угольннк, вершины которого лежат на л заданных прямых (см. § 5 гл. I, задача 1836), стр. 120 и § 5 гл. П, задача 283, стр. 303);
      в) вписать в данный л-уголышк другой л-угольник, стороны которого проходят через л заданных точек плоскости (см. § 5 гл. I, задача 189, стр. 122).
      Решение первой из этих задач, не использующее свойств линейных или круговых преобразований, является весьма сложным (см., например, указанные на стр. 606 книги Ж. Адамара (задача 391) п Д. О. Шклярского и др. (задача 80)). Для второй и третьей задач подобное решение вовсе не известно.
      Отметим ещё, что использование линейных и круговых преобразований позволяет решить интересный вопрос о том, какие построения являются возможными, если пользоваться только одной линейкой или только одним циркулем (см. ниже § 5 гл. 1 и § 2 гл. II).


     
     
      Указатель относится к обоим томам книги.
      Страницы первого тома указываются курсивом.
     
      Лвтополярный треугольник 91 Аксиома параллельных линий 146, 330
      Аксиомы 97, 142, 163, 345 Аналагматнческаи геометрии 13
      — плоскость 203 Антнпараллельныс отрезки 132 Аффинная геометрия 13 Аффинные преобразования 13, 26
      Бесконечно удалённая окружность 603
      прямая 54
      точка 54, 203
      ---------- неевклидовой геометрии
      Лобачевского 602 Бнсссктральная окружность 552 Биссектриса угла между направленными прямыми 269
      Вектор 25
      Вершина четырёхсторонника 25 Взаимно перпендикулярные пучки окружностей 219"
      Внешний центр подобия окружностей 76
      Внутренний центр подобия окружностей 79 Вращение 32
      — в неевклидовой геометрии Лобачевского 158, 330
      -------------Рнмана 342
      Второй центр вращения треугольника 131 Выделенная прямая 32
      — точка 201
      Гармонически сопряжённые пары точек 51 Гармоническое деление 51 Геодезия 89, 40 Геометрическая фигура 13 Геометрические свойства 15 Геометрия 17, 72,83, 12
      — движении S
      — подобий 8
      Гннсрболнчсская связка окружно-стей 230 Гиперболический пучок окружностей 218
      циклоп 600
      Гомотетия 74
      — в пространстве 95 Группа 12
      Группа преобразований И
      Движение 17, 67, 318
      — в неевклидовой геометрии Лобачевского 128, 324. 338, 604
      ------------Рнмана 340
      Двойное отношение четырёх направленных прямых 303
      -----------окружностей 237
      --------прямых 105
      ---------точек окружности 112
      ------------ плоскости 235
      — ----------прямой 49
      Двойственные теоремы 95 Дескриптивные определения 67 Диагонали четырёхсторонника 25 Длина отрезка в неевклидовой
      геометрии Лобачевского 132, 134, 328
      Длина отрезка в неевклидовой геометрии Римана 340 Доказательство существования 68 Достаточность 96
      Евклидова геометрия 127
      Задача Аполлония 208, 267, 300, 307
      Зеркально-подобные преобразования 114
      — фигуры 110 _ Зеркально-равные фигуры 60 в неевклидовой геометрии
      Лобачевского 156, 157 Знак отношения отрезков 77, 89 Знаки углов 286
      Инверсия 173, 174, 247, 251, 310
      — с отрицательной степенью 174, 176
      Интерпретация 346
      Касание направленных окружностей и прямых 261 Касательная 182
      Касательное расстояние двух кривых 300
      ----------окружностей 264, 265,276
      Кинематическая геометрия 116 Конструктивные определения 68 Конформная геометрия 13
      — плоскость 203 Конформное преобразование 183 Коэффициент подобия 74, 98, 108 Круговые преобразования 13,246,247
      в неевклидовой геометрии
      Лобачевского 604
      Линейные преобразования 13, 26
      в неевклидовой геометрии
      Лобачевского 604 пространства 321
      Механика 67 Модель Бельтрами 168
      — Бельтрами — Клейна 346
      — геометрии 346, 347, 348
      — Клейна 168, 346
      — Пуанкаре 347
      Направление вращения 31
      — обхода 59
      Направленная окружность 33,259
      — прямая 25, 256
      — точка 602
      Направленный отрезок 24, 25
      — угол 33
      — цикл 603
      Направляющая окружность 190, 191, 272 осевой инверсии 285
      — прямая 272
      — точка 190, 191, 272 Неевклидов квадрат 153
      — параллелограмм 153
      — перенос 159, 334
      — прямоугольник 153
      — ромб 153
      — угол 136, 142, 327, 354 Неевклидова геометрия Лобачевского 128, 324
      Рнмана 168, 337, 340
      — длина 132, 134, 328
      — окружность 333
      — симметрия относительно прямой 338
      Неевклидово вращение 158, 330
      — расстояние 328, 350, 351
      — центрально-подобное преобразование 351
      Неевклидовы геометрии 168
      — движения 128, 324, 604 Необходимость 96 Неподвижные прямые 22, 29, 39,
      56, 80, 100, 109
      — точки 22, 29, 39, 80, 100, 109, 117, 120, 176
      Обобщение теоремы Птолемея 243 Обобщённые круговые преобразования 253
      — линейные преобразования 13, 68
      Ограниченная линейка 41 Окружность в неевклидовой геометрии Лобачевского 158, 333
      ------------ Римана 342
      — девяти точек 85, 193
      — инверсии 173
      — подобия 134
      — Эйлера многоугольника 86
      Окружность Эйлера треугольника 85, 86 Описательные определения 67 Осевая инверсия 278, 283, 310, 314, 323, 324
      с отрицательной степенью 288
      Осевые круговые преобразования 276, 314
      ----------в неевклидовой геометрии Лобачевского 605
      — преобразования 275 Основание цепи 198, 199, 200 Ось 256
      — перспективы 43
      — подобия 94, 134
      трёх окружностей 269, 310
      — пучка окружностей 312
      — симметрии 42
      — скользящей симметрии 48
      — центрально-подобной симметрии 108
      — эквидистанты 159 Отображение одной плоскости на
      другую 25, 66
      прямой на другую 107
      Отражение от окружности 173
      прямой 42
      точки 25
      Отрицательное расстояние 260,262 Отрицательный коэффициент подобия 77
      Параболическая связка окружностей 230 Параболический пучок окружностей 218
      циклов 600
      Параллельная линейка 89, 127 Параллельное проектирование плоскости на плоскость 16
      ------------себя 25, 247
      Параллельные направленные прямые 258
      — прямые неевклидовой геометрии Лобачевского 147, 330
      Параллельный перенос 19
      в пространстве 18, 248
      Паскалева прямая 115 Первый центр вращения треугольника 131
      Перпендикулярные окружности 172
      — окружность н прямая 171
      — пучки окружностей 219, 220
      циклов 336
      Перспективные треугольники 43 Площадь многоугольника 476 Поворотное растяжение 98 Полный четырёхсторонник 24, 51 Полюс прямой геометрии Римана 340
      относительно окружности 84
      ---------пары точек 39
      --------- треугольника 42
      Поляра точки относительно окружности 84
      ---------пары прямых 39
      --------- треугольника 42
      Полярное преобразование 91 Полярные треугольники 90 Построения на ограниченном куске плоскости 87, 40
      — с помощью параллельной линейки 90, 127
      --------линейки и транспортира 40
      ---------одного циркуля 210, 211
      ---------одной лннейки 40,123
      ---------------- при наличии дуги
      окружности с центром 125
      ----------------------- нескольких
      окружностей 126, 127
      -----------------------окружности
      с центром 124 Предельная линия 160, 335 Преобразование 22, 25, 66
      — Лагсрра 276
      — обратных радиусов 174
      — подобия 72, 12, 2*7,314, 322
      — прямой 107
      Принцип двойственности 95, 274 Проективная геометрия 13
      — плоскость 56
      Проективное преобразование 13, 68
      окружности 112, 113
      прямой 108, 110
      Проектирование окружности на себя 441 ---------прямую 111
      — прямой на окружность 111
      Проектирование прямой на прямую 106 Проекция 30, 139 Произведение преобразований 24 Протнвопараллельные прямые 284 Прямая Симеона 129
      — Эйлера 83
      Прямые неевклидовой геометрии Лобачевского 130, 325, 326
      ----------Рнмана 338, 339, 341
      Псевдогеометрия 318, 349 Псевдодвижения 318 Псевдоевклндова геометрия 318 Псевдоперпендякулярные отрезки 318, 319 Псевдорасстояние 318 Псевдосимметрия 319 Пучок окружностей 215, 226, 312
      — параллельных прямых неевклидовой геометрии Лобачевского 152
      — пересекающихся прямых неевклидовой геометрии Лобачевского 152
      — сверхпараллельных прямых 152
      — циклов 336
      Равенство 17 Раднанпая мера угла 162 - Радикальная ось двух окружностей 221, 223, 308
      --------- циклов 336
      Радикальный центр трёх окружностей 226, 310
      --------- циклов 602
      Радиус направленной окружности 260
      Расстояние 17
      — в неевклидовой геометрии Лобачевского 143
      — между прямыми в неевклидовой геометрии Лобачевского 149
      — от точки до кривой 160 ------------ прямой в неевклидовой геометрии Лобачевского 143
      Расширение 255, 314, 323 Расходящиеся прямые 147, 330 Ряд окружностей 312
      Сверхпараллельные прямые 150, 330
      Связка окружностей 229, 313
      Сеть окружностей 313
      — точек 27 Сжатие 255 Симметрии 64
      Симметрия относительно окружности 170, 173
      -------- в неевклидовой геомет
      рнн Лобачевского 604
      — — предельной линии 604
      прямой 42, 169, 171
      -------- в неевклидовой геометрии Лобачевского 156, 332, 338
      ------------------- Рнмана 339
      точки 25
      цикла 337, 603, 604
      эквндистанты 604
      Скользящая симметрия 4S Сложение преобразований 24 Сложное отношение четырёх окружностей 237
      --------прямых 105
      --------точек окружности 112
      ----------- плоскости 235
      ----------- прямой 49
      Собственно-подобные преобразования 114
      — фигуры ПО
      Собственно-равные фигуры 60,156 Собственные движения 38, 64
      в неевклидовой геометрии
      Лобачевского 157 Степень инверсии 173, 174, 287
      — осевой инверсии 283, 287
      — прямой относительно окружности 281, 287, 308
      — точки относительно окружности 222, 240, 281, 287, 308
      Стереографическая проекция 71, 314, 316
      Стороны полного четырёхсторонника 25 Сумма преобразований 24 Сферическая геометрия 344, 477
      Теорема Брианшона 80, 116, 146
      — Дезарга 42, 103
      — Менелая 96, 58, 100
      — о дважды перспективных треугольниках 44
      полном четырёхстороннике
      25
      Теорема о трёх центрах подобия 93, 94, 193, 310 трижды перспективных треугольниках 44
      — Паскаля 80, 115, 193
      — Понселе 232
      — Птолемея 130, 236, 243
      — Чева 96, 25, 58, 100, 369 Теория относительности 166 Тождественное преобразование
      38, 11
      Точечное круговое преобразование 274
      J‘ — неевклидовой геометрии
      Лобачевского 605
      — преобразование 274 Точка Торичелли 104
      Точки неевклидовой геометрии Лобачеаского 130, 324, 602
      — Римана 339
      Треугольник подобия 134
      Угловой дефект 154, 156
      — избыток 343, 478
      Угол в неевклидовой геометрии Лобачевского 136, 140, 142, 327 ------------ Рнмана 340
      — между кривыми 182
      направленными прямыми
      258, 279
      окружностями 101, 171
      отрезками 34
      прямой н окружностью 171
      — поворота 32, 98
      Фигура 13
      Характеристика цепи 200, 201
      Центральная окружность 187,1S8, 189, 204, 271, 272
      — проекция 30
      — прямая 271
      осевой инверсии 283
      сети окружностей 313
      — точка 187, 188, 189, 204, 271 Центральное проектирование плоскости на плоскость 30
      ------------ себя 67
      Центрально-подобная симметрия 108
      Центрально-подобное вращение 98
      — преобразование 74
      в пространстве 95, 32
      с отрицательным коэффициентом подобия 78
      Центр вращения 32, 62, 112
      — инверсии 173
      — окружности в неевклидовой геометрии Лобачевского 158,333
      Рнмана 342
      — перспективы 43
      — подобия 74, 112
      двух окружностей 269, 308
      трёх фигур 94, 134
      — проекции 30
      — ряда окружностей 312
      — связки окружностей 313
      — симметрии 25
      — тяжести 85, 175
      — центрально-подобной симметрии 108
      — центрально-подобного вращения 98
      — — преобразования 74 Центры вращения треугольника
      131
      Цепь окружностей 198, 199 Цикл 259
      — в неевклидовой геометрии Лобачевского 335, 603
      -------------Римаиа 343, 478
      Циклографическая проекция 315, 316
      Циркуль ограниченного раствора 41 '
      — фиксированного раствора 41 Черчение 89
      Четвёртый признак равенства треугольников 155 Четырёхсторонник 24
      Эквиднстанта 159, 334, 603 Эквнлонгальное преобразование 300
      Эллиптическая связка окружностей 230 Эллиптический пучок окружностей 218 циклов 599

 

 

ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)


ТС БК-МТГК 2015—3015 karlov@bk.ru — Борис Карлов