ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)

 

Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. — 1965 г.

 

В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг

ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

*** 1965 ***


DJVU

<< ВЕРНУТЬСЯ К СПИСКУ

 


      Содержание
     
      Предисловие.
     
      Глава 1. Разбиение фигур на части меньшего диаметра.
     
      § 1. Диаметр фигуры.
      § 2. Постановка задачи.
      § 3. Решение задачи для плоских фигур.
      § 4 Разбиение шара на части меньшего диаметра.
      § 5 Решение задачи для тел в пространстве.
      § 6. О гипотезе Борсука для n-мерных тел.
     
      Глава 2. Покрытие выпуклых тел гомотетичными телами и задача освещения.
     
      § 7. Выпуклые фигуры.
      § 8. Постановка задачи о покрытии фигур гомотетичными.
      § 9. Другая формулировка задачи.
      § 10. Решение задачи для плоских фигур.
      § 11. Гипотеза Хадвигера.
      § 12. Формулировка задачи освещения.
      § 13 Решение задачи освещения для плоских фигур.
      § 14. Эквивалентность двух задач.
      § 15. Некоторые оценки для величины c(F).
      § 16 Разбиение и освещение неограниченных выпуклых фигур.
     
      Глава 3. Некоторые родственные задачи.
     
      § 17. Задача Борсука в пространстве Минковского.
      § 18. Задачи Эрдеша и Кли.
      § 19. Некоторые нерешенные задачи.
     
      Примечания.
      Литература.
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ
      В теории выпуклых фигур есть много изящных результатов, вполне доступных пониманию школьников и в то же время представляющих интерес для специалнстов-математиков. Некоторые из таких результатов мы и хотим предложить вниманию читателя. Мы расскажем о комбинаторных задачах теории выпуклых фигур, связанных главным образом с разбиением фигур на «меньшие» части.
      Теоремы и задачи, излагаемые в книге, вошли в математику совсем недавно: самой старой из них недавно исполнилось 30 лет, а многие из теорем находятся еще в «младенческом» возрасте — они опубликованы в специальных математических журналах за последние 5 лет.
      Нам кажется, что основная часть книги будет вполне доступна учащимся старших классов, интересующимся математикой. Материал, который покажется сложным, можно пропустить. Наиболее простыми являются §§ 1—3, 7—10, 12—14, относящиеся к плоским фигурам. Остальные параграфы относятся к пространственным (и даже н-мерным) фигурам. Для требовательного и подготовленного читателя в конце книги сделано несколько примечаний и указан список журнальных статей и книг. Ссылки на примечания даны в круглых скобках ( ), ссылки на литературу — в квадратных скобках I ]. В некоторых местах (особенно в примечаниях) изложение ведется на уровне научных статей. Мы не считаем включение такого материала в популярную книгу недопустимым: как нам кажется, популяризация научных знаний возможна не только среди начинающих, но и среди специалистов.
      Изложение подводит читателя к современному состоянию рассматриваемых вопросов. В конце книги (§ 19) сформулированы нерешенные проблемы. Некоторые из них настолько наглядны и так просто формулируются, что размышление над их решением доступно даже способным школьникам.
      В заключение — несколько слов о самой «комбинаторной геометрии». Эта новая ветвь геометрии еще не сформировалась окончательно, и потому рано говорить о предмете комбинаторной геометрии. Кроме задач, разбираемых в этой книге, к комбинаторной геометрии, несомненно, относится круг вопросов, связанных с теоремой X е л л и (см. главу 2 книги [37]), задачи о расположениях фигур (см. превосходную книгу Фейеша Тота [23]) и ряд других вопросов. Заинтересовавшемуся читателю мы очень рекомендуем также книгу Хадвигера и Дебрун-нера [29], посвященную задачам комбинаторной геометрии плоскости, и интереснейший обзор Грюнбаума [10], тесно соприкасающийся с содержанием предлагаемой вниманию читателя книги.
      Авторы пользуются случаем выразить искреннюю признательность И. М. Яглому, энтузиазм и дружеское участие которого немало содействовали улучшению текста книги.
      В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг
     
      На доказательство справедливости этой гипотезы были направлены усилия многих математиков мира. Однако даже для п = 3 (т. е. для тел, расположенных в обычном пространстве) полное решение этой проблемы долго не удавалось получить. Решение (для п = 3) было получено только в 1955 году английским математиком Эгглстоном 132]: он показал, что в трехмерном пространстве предположение Борсука действительно справедливо, т. е. имеет место сформулированная выше теорема 3.
      Следует заметить, что доказательство самого Эгглстона было весьма сложным, длинным и неэлементарным. В 1957 году израильским математиком Грюнбаумом было предложено новое, весьма изящное и более короткое доказательство этой же теоремы [7]. По идее оно напоминает доказательство теоремы 1: тело F заключается в некоторый многогранник, который затем разбивается на четыре части диаметра cl. Доказательство Грюнбаума мы здесь и изложим.
      Доказательство теоремы 3. Первой частью доказательства будет установление следующей леммы, полученной в 1953 г. американским математиком Гэйлом [11]: всякое пространственное тело F диаметра d может быть заключено в правильный октаэдр, у которого расстояние между противоположными гранями равно d.
      Рассмотрим правильный октаэдр АВСА'В'С', у которого А и Л', В и В', С и С' — попарно противоположные вершины, а расстояние между противоположными гранями равно d (рис. 29). Всего у октаэдра 8 граней, которые попарно параллельны. Мы рассмотрим не четыре пары параллельных плоскостей, в которых лежат эти грани, а только три из них; например, возьмем плоскости ABC' и А'В'С, АВ'С и А'ВС', А'ВС и АВ'С. Эти три пары параллельных плоскостей, пересекаясь, образуют параллелепипед AB'CDA'BCD' (см. рис. 30, на котором жирным пунктиром показаны «новые» ребра этого параллелепипеда); этот параллелепипед мы обозначим через Ф. Расстояние между противоположными гранями параллелепипеда Ф по-прежнему равно d. Далее, диагональ DD' перпендикулярна к «отброшенным» граням ABC н А’В'С' октаэдра. Таким образом, параллелепипед Ф обладает

 

 

 

ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)


ТС БК-МТГК 2015—3015 karlov@bk.ru — Борис Карлов