ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)

 

Ошибки в математических рассуждениях. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. — 1959 г.

 

Владимир Модестович Брадис
Владимир Львович Минковский
Августа Константиновна Харчева

ОШИБКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ

*** 1959 ***


DJVU

<< ВЕРНУТЬСЯ К СПИСКУ

 

      ОГЛАВЛЕНИЕ
     
      Из предисловия к первому изданию 3
      Предисловие ко второму изданию 4
     
      Глава I. Об упражнениях на опровержение ошибочных математических рассуждений и их классификации.
      Введение 6
      I. Математические софизмы и их педагогическая роль 7
      II. Классификация упражнений на опровержение ложных математических рассуждений 11
      1. Неправильности речи 14
      2. Распространение па исключительные случаи 16
      3. Приписывание свойств определенного вида всему роду 17
      4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путем обращения 18
      5. Подмена точных определений геометрической интуицией 21
      6. Ошибки построения 23
      7. Ошибки, являющиеся следствием буквального толкования сокращенной (условной) формулировки некоторых геометрических утверждений 31
      8. Нарушение смысла условных записей 32
      9. Уклонение от тезиса 33
     
      Глава II. Арифметика.
      I. Примеры ложных рассуждений 36
      1. Размещение по одному тринадцати человек в двенадцати комнатах
      2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев
      3. Квадратные рубли 37
      4. ...
      5. ...
      6. Дважды два — пять!
      7. Есть ли здесь пропорциональность? 89
      8. 100% экономии 39
      9. Как вычислять средний процент? 40
      10. Что даст ежегодной прирост в 40% за пять лет?
      11. Новое правило умножения дробей 41
      12. Куда делся рубль? 42
      13. Откуда появился лишний гривенник?
      14. Завещание отца
      15. 2-3=4 43
      II. Анализ примеров 43
     
      Глава III. Алгебра
      I. Примеры ложных рассуждений 57
      16. Половина рубля равна пяти копейкам
      17. ...
      18. 12=6=0 58
      19. Делимость многочленов и делимость чисел
      20. Произвольно взятое число а равно нулю 59
      21. 7=13 60
      22. Положительная единица равна отрицательной единице
      23. Другое «доказательство» равенства положительной
      и отрицательной единиц 61
      24. Мнимая единица и действительная отрицательная единица равны
      25. ...
      26. Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение . . —
      27. Если ...
      28. Если а и б положительные числа, то ..
      29. Положительное число меньше нуля 64
      30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых превосходит единицу, больше их произведения . —
      31. Чему равен квадратный корень из числа 65
      32. Еще одно сдоказательство» равенства нулю произвольно взятого числа
      33. Число не изменяется, если в нем переставить любые цифры 66
      34. Что говорит теорема о существовании корня в алгебре комплексных чисел?
      35. Об одном способе получать правильные результаты, применение которого требует большой осторожности 67
      36. О сумме ...
      37. Всегда ли целое больше своей части? 71
      38. Еще одно «доказательство» равенства двух произвольно взятых чисел 72
      39. Сумма двух произвольных одинаковых чисел равна нулю 73
      40. Число не изменится, если к нему прибавить единицу
      41. Ахиллес и черепаха 74
      42. О некоторых ученических ошибках
     
      II. Анализ примеров 78
     
      Глава IV, Геометрия.
      I. Примеры ложных рассуждений 108
      43. Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны .
      44. Отрезок прямой равен своей правильной части
      45. Все треугольники равновелики
      46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю
      47. Объемлемая и объемлющая 112
      48. Еще о пропорциональности ИЗ
      49. Две окружности разного радиуса имеют одну и ту же длину
      50. Сумма катетов равна гипотенузе
      51. Длина полуокружности равна ее диаметру 45
      52. Боковая поверхность круглого прямого конуса с радиусом основания ...
      53. В данной точке на прямой можно восставить два перпендикуляра к этой прямой 48
      54. Через одну точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой 119
      55. Окружность имеет два центра
      56. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра
      57. Через две данные точки можно провести две прямые 121
      58. Любой треугольник — равнобедренный
      59. Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе 123
      60. Прямой угол равен тупому
      61. ...
      62. Задача о заплате 125
      II. Анализ примеров
      111, Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассуждений 139
      63. Подобные треугольники с равными сторонами
      64. Трисекция угла
      65. Еще о трисекции угла
      66. Квадратура круга
      67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника
      68. Как вычислять объем усеченной пирамиды?
     
      Глава V. Тригонометрия.
      I. Примеры ложных рассуждений 152
      69. ...
      70. Синус угла уменьшается, если к углу прибавить 360° 153
      71. Косинус любого острого угла больше единицы
      72. ...
      73. ...
      74. Площадь прямоугольника равна нулю 155
      75. Существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны 156
      76. Каждый треугольник — прямоугольный 157
     
      II. Анализ примеров 158
     
      Глава VI. Приближенные вычисления. Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассуждений 162
      77. Сколько лет древней статуе?
      78. Все большие числа приближенно равны между собой 163
      79. О точности произведения приближенных чисел 164
      80. Верна ли формула ... 167
      81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы получить корень с заданной точностью? . 168
      82. Зачем освобождаются от иррациональности в знаменателе? 169
     
     
      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
     
      Бесконечно разнообразны те ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть с учащимися средней школы хотя бы некоторые такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем; во-вторых, самый процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным для учащихся, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.
      Рассуждение, в котором допущена та или другая ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь явной нелепости, или так называемый софизм. Разобрать софизм — это значит указать ту ошибку, которая была допущена в рассуждении и из-за которой получился нелепый вывод.
      Известен целый ряд подобных ошибочных рассуждений из разных разделов математики, и существует несколько сборников таких рассуждений. Однако эти издания давно разошлись, и этим оправдывается выпуск в свет настоящего сборника. Он предназначен для учащихся неполных средних и средних школ и содержит материал разной трудности, который учителя могут рекомендовать в соответствующих классах школы от V до X включительно. Этот материал удобнее всего использовать в работе школьных математических кружков, но некоторые вопросы можно разобрать с пользой для дела и на обычных классных занятиях, особенно при повторении.
      Отмстим, что при работе по разбору ошибок безусловно необходимо добиваться полной ясности: учащиеся должны
      з
      совершенно отчетливо установить, в чем заключается допущенная в рассуждении ошибка и как ее исправить. Учитывая это, авторы снабдили подробным разъяснением почти каждое ошибочное рассуждение, приведенное в настоящем сборнике. Разумеется, читать это разъяснение следует не сразу после ознакомления с постановкой вопроса, а после настойчивых попыток разобраться в вопросе самостоятельно. Во многих случаях читатели найдут разъяснение самостоятельно или после небольших указаний со стороны учителя. Особое внимание следует обращать на точность формулировок. Дело в том, что недостаточная точность обычной у учащихся словесной формулировки теоремы может быть иногда причиной недоразумения (хороший пример такого недоразумения дает § 1 главы III*), а неточности встречаются не только в ответах учащихся, но и в общепринятых формулировках...
      Основой настоящего сборника послужило сочинение Харчевой А. К. «Математические софизмы и их применение в школе», представленное ею при окончании Калининского педагогического института в качестве дипломной работы **. Окончательная редакция книги и несколько добавлений к первоначальному тексту принадлежат Брадису В. М.
      1937 год Авторы: В. М. Брадис, А. К. Харчева
     
      * В настоящем втором издании это пункт 7 второго раздела гл. I.
      ** В те годы, до введения государственных экзаменов, выпускники педагогических институтов должны были выполнять н защищать дипломные работы.
     
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
     
      Книга В. М. Брадиса и А. К. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях», изданная в 1938 году и давно исчезнувшая из продажи, имела в свое время значительный успех среди учителей. По договоренности с авторами я предпринял ее переработку для переиздания. При подготовке нового издания использована моя статья «Опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений», напечатанная в 1956 году в «Ученых записках кафедр физико-математического факультета Орловского государственного педагогического института» (том XI, вып. II, стр. 122—148), исключены некоторые менее удачные разделы первого издания книги, добавлено несколько новых
     
      ошибочных рассуждений, а разъяснения вынесены в отдельные разделы соответствующих глав.
      В предлагаемой вниманию читателя книге «Ошибки в математических рассуждениях» ложные доказательства расположены по предметно-классификационному принципу. Это означает, что традиционное деление материала на арифметический, алгебраический, геометрический и тригонометрический сохранено, но внутри названных разделов школьного курса математики осуществлено распределение предлагаемых упражнений в соответствии с изложенной в первой главе классификацией.
      При составлении настоящего сборника авторами были использованы различные источники, в том числе:
      Обреимов В. И., Математические софизмы, изд. 3, Пб„ 1898.
      Горячев Д. Н. и Воронец А. М., Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики, М., 1903.
      Лямин А. А., Математические парадоксы и интересные задачи, М., 1911.
      Лянченков М. С., Математическая хрестоматия, Пб., 1911—1912.
      Надеюсь, что лица, ознакомившиеся с книгой и имеющие замечания, не откажутся поделиться ими, направляя их в редакцию математики Учпедгиза, по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, дом 41.
      В. П. Минковский
     
     
      Глава I.
      ОБ УПРАЖНЕНИЯХ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ
      ОШИБОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ И ИХ КЛАССИФИКАЦИИ.
      ВВЕДЕНИЕ.
      В науке принято всякое доказываемое или опровергаемое утверждение называть тезисом. Например, Доказывая какую-либо теорему, мы имеем тезис — текст этой тео ремы.
      Оправдать тезис — это значит установить его истинность; опровергнуть тезис — показать его ложность.
      Проверка тезиса состоит в его оправдании или опровержении
      Опровержение доказательства не означает еще опровер жения тезиса Если тезис истинен, то опровержение доказа тельства свидетельствует лишь о том, что в его защиту при ведены неудачные аргументы или допущена оплошность в рас суждении Однако истинность тезиса до тех пор остается под вопросом, пока не будут представлены должные аргу менты и логически безупречная схема доказательства
      При просмотре доказательства, подтверждающего истин ный или кажущийся истинным тезис, далеко не во всех случаях легко заметить наличие ошибки Задача значительно облегчается, когда мы, зная заранее, что в доказательстве содержится ошибка, исходим из специальной установки на ее обнаружение.
      Если тезис выражает ложное суждение, то и любое доказательство этого тезиса всегда оказывается ложным. Умение опровергнуть доказательство тезиса в случае его ложности столь же необходимо, как и умение доказать тезис в случае его истинности.
      В ходе политических, научных и житейских споров, в процессе судебного следствия и разбирательства, в поисках решения различных задач приходится не только доказывать но и опровергать.
      В. И. Ленин, анализируя сознательные и бессознательные ошибки в области логического мышления своих политических противников, напоминал о тех рассуждениях, «..которые математики называют математическими софизмами и в которых,-—строго логичным, на первый взгляд, путем,— доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д.», и указывал, что «Существуют сборники таких м iтематических софизмов, и учащимся детям они приносят свою пользу»*.
      * В. И. Л е н и н, Сочинения, т. 7, изд. 4, М., 1946, стр 78.
      В методическом письме Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в V — X классах» (1952, стр. 41) указывается, что «весьма полезным подспорьем для развития логических способностей учащихся являются всевозможные софизмы».
     
      МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ и их педагогическая роль
     
      Софизм — слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на фор мально-логическое установление абсурдного положения.
      Математические софизмы представляют собой тот частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм — это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противо поставлением ложному рассуждению истинного.
      В основном математические софизмы строятся на невер ном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений или предположений с помощью геометрической «очевидности», В. И. Ленин дает обобщающую формулировку, характеризуя софистику, как «...выхватывание внешнего сходства случаев вне связи событий...»*.
      * В. И. Ленин, Сочинения, т. 21, изд. 4, М., 1948, стр. 100.
      Математический софизм тем более замысловат, чем более тонкого характера проводимая в нем ошибка, чем менее она предупреждена обычным школьным изложением предмета и чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего выражения. С целью маскировки обычно усложняют завязку софизма, т. е. формулируют такое положение, в процессе доказательства которого приходится использовать несколько истинных математических утверждений, способствующих отвлечению того лица, кто ищет ошибку, на ложный путь В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения удачно содействует оптическая иллюзия.
      Основная цель введения софизмов в школу заключается в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить определенные логические схемы, определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления и вычислительной практики.
      Практика преподавания убедительно подтверждает, что возможности целесообразного использования математических софизмов возрастают по мере продвижения учащихся по ступеням классной лестницы, по мере роста их интереса к логической структуре науки. Особенно серьезно и углубленно эта работа может быть поставлена в математическом кружке учащихся старших классов, где обычно проявляется повышенный интерес к логическим основам методов математического доказательства.
      Математические софизмы заставляют особо внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условий применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, так как они направлены на содержательное усвоение предмета, противопоставляемое формальному, для которого «характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта» (А. Я- Хинчин).
      Прочность же усвоения математического факта значительно повышается усилением элемента эмоции при восприятии, вызываемым абсурдным утверждением формулировки софизма.
      Упражнения в раскрытии софизмов не гарантируют от появления подобных же ошибок в самостоятельных рассуждениях учащихся, но дают возможность в случае появления ошибки скорее ее обнаружить и в ней разобраться. В педагогическом плане высказанная мысль реализуется в том, что математические софизмы, предлагаемые вниманию учащихся, должны, как правило, использоваться не столько для предупреждения ошибок, сколько для проверки степени сознательности усвоения и закрепления определенного материала. На этом положении базируется практика работы наших лучших учителей математики, использующих в некотором объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений по разделу и при повторении.
      Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хорошее знание самим педагогом типичных ученических ошибок, причин их возникновения и материала математических софизмов способствует лучшему достижению этой цели. Степень подготовленности в этом направлении педагога ощутительно сказывается в подборе примеров, в выявлении всех существенных в пределах данного типа вариаций с целью предупреждения возникновения односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.
      Большинство педагогов сходится на том мнении, что при объяснении нового материала в подавляющей массе случаев следует избегать фиксации внимания учащихся на ошибках, еще только могущих возникнуть, чтобы не создавать ложных наглядных представлений.
      КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ

 

 

 

ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)


ТС БК-МТГК 2015—3015 karlov@bk.ru — Борис Карлов