ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)

Новые встречи с геометрией. Коксетер, Грейтцер. — 1978 г.

Гарольд Коксетер, Самуэль Грейтцер

Новые встречи с геометрией

Библиотека
математического кружка.
Выпуск 14

*** 1978 ***


DjVu

<< ВЕРНУТЬСЯ К СПИСКУ

 

      СОДЕРЖАНИЕ
     
      От редактора русского перевода 9
      Предисловие 10
     
      Глава 1. Точки и линии, связанные с треугольником 13
      § 1. Обобщенная теорема синусов 13
      § 2. Теорема Чевы 15
      § 3. Замечательные точки 17
      § 4. Вписанная и вневписанные окружности 2i
      § 5. Теорема Штейнера — Лемуса 23
      § 6. Ортотреугольник 27
      § 7. Серединный треугольник и прямая Эйлера 28
      § 8. Окружность девяти точек
      § 9. Педальный треугольник 34
     
      Глава 2. Некоторые свойства окружностей 39
      § 1. Степень точки относительно окружности 39
      § 2. Радикальная ось двух окружностей 43
      § 3. Соосные окружности 47
      § 4. Еще раз о высотах и ортоцентре треугольника 49
      § 5. Прямые Симеона 53
      § 6. Теорема Птолемея 55
      § 7. Еще раз о прямых Симеона 57
      § 8. Теорема о бабочке 59
      § 9. Теорема Морлея 61
     
      Глава 3. Коллинеарность и конкурентность 65
      § 1. Четырехугольники; теорема Вариньона 65
      § 2. Вписанные четырехугольники; теорема Брахмагупты 71
      § 3. Треугольники Наполеона 76
      § 4. Теорема Менелая 82
      § 5. Теорема Паппа 85
      § 6. Перспективные треугольники; теорема Дезарга.. 86
      § 7. Шестиугольники » 90
      § 8. Теорема Паскаля 62
      § 9. Теорема Брианшона 65
     
      Глава 4. Преобразования 69
      § 1. Параллельный перенос 100
      § 2. Поворот 102
      § 3. Разворот 105
      § 4. Симметрия 106
      § 5. Задача Фаньяно 108
      § 6. Задача о трех кувшинах 110
      § 7. Дилатация 116
      § 8. Спиральное подобие 118
      § 9. Генеалогия преобразований 124
     
      Глава 5. Введение в инверсивную геометрию 127
      § 1. Разбиение 127
      § 2. Сложное отношение 131
      § 3. Инверсия 132
      § 4. Круговая плоскость 138
      § 5. Ортогональность 141
      § 6. Теорема Фейербаха 145
      § 7. Соосные окружности 148
      § 8. Инверсное расстояние 152
      § 9. Гиперболические функции 157
     
      Глава 6. Введение в проективную геометрию 163
      § 1. Полярное преобразование 163
      § 2. Полярная окружность треугольника 168
      § 3. Конические сечения 170
      § 4. Фокус и директриса 173
      § 5. Проективная плоскость 176
      § 6. Центральные конические сечения 179
      § 7. Стереографическая и гмономическая проекции 183
     
      Ответы и указания к упражнениям 188
      Библиография 212
      Словарь основных терминов, используемых в книге 215
      Указатель 220

     
     

      ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
     
      «Вновь я посетил...»
      А. С. Пушкин
     
      Дословным переводом названия этой книги является «Вновь посещенная геометрия». Авторы как бы проводят читателя по наиболее красивым местам древней, но нестареющей страны — Геометрии. »
      Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Но математика росла и развивалась, особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления; математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике, как в США, так и в ряде других стран.
      Книга Г. С. М. Коксетера и С. Л. Грейтцера является ярким документом в защиту геометрии, за утверждение геометрии на подобающем ей месте в системе школьного образования.
      В то же самое время она является прекрасным материалом для работы школьных математических кружков. Изучение этой книги дает возможность взглянуть на геометрию в целом и в то же время познакомиться с отдельными ее жемчужинами. Именно поэтому книга включена в серию «Библиотека математического кружка».
      Большинство книг этой серии (исключение составляет лишь «Числа и фигуры» Г. Радемахера и О. Теплица) написано в «эвристической» манере изложения, а именно, читатель входит в круг рассматриваемых вопросов, решая последовательно серию задач. Если задача оказывается для него слишком сложной, он может прочесть ее решение. Таким образом, читатель сам становится как бы исследователем, самостоятельно открывающим эту область математики. Однако, при этом полностью исчезает исторический аспект рассматриваемого вопроса.
      Книга Г. С. М. Кокстера и С. Л. Грейтцера, хотя и содержит много задач, но написана в обычной манере последовательного изложения материала. При этом авторы насытили изложение большим количеством интересных сведений по истории появления идей и результатов, что делает книгу еще более привлекательной.
      Несколько слов об авторах книги. Гарольд Скотт Макдональд Коксетер — профессор университета в Торонто (Канада) — один из крупнейших современных геометров, автор ряда книг, две из которых «Введение в геометрию» и «Действительная проективная плоскость» ([17] и [18]) переведены на русский язык. Заметим, что транскрипция его имени в этих книгах (Г. С. М. Кокстер и X. С. М. Кокстер) отличается от примененной здесь; однако было решено перейти на эту более правильную транскрипцию, тем более, что она уже стала встречаться в русской литературе по математике.
      Самуэль Грейтцер, профессор математики Рутгер-ского университета (США), более 25 лет проработал школьным учителем математики. Он является основным организатором Всеамериканских математических олимпиад, которые по стилю сходны со Всесоюзными математическими олимпиадами. В течение ряда последних лет он руководит командой США на Международной математической олимпиаде школьников.
      Перевод книги был осложнен двумя обстоятельствами: во-первых, в настоящее время средняя школа СССР только-только перешла на новые программы по математике и одновременно на новую терминологию и новые обозначения, непривычные для лиц, закончивших среднюю школу до 1977 года, а, во-вторых, Кок-сетером разработана своя стройная и логичная система обозначений, например, площадь треугольника ABC обозначается через (ABC), и т. д. В результате перед переводчиками встал трудный вопрос о выборе терминологии и обозначении.
      Поскольку эта книга адресована в первую очередь школьникам, то за основу была взята система обозначений, применяющаяся сейчас в средней школе. При этом были сделаны небольшие отклонения, позволяющие без труда читать эту книгу и человеку, незнакомому с новой терминологией и новыми обозначениями.
      В частности, здесь употребляется термин «конгруэнтность фигур» вместо ранее существовавшего термина «равенство фигур», однако, во многих случаях по отношению к отрезкам и углам сохранен термин «равенство», причем имеется в виду равенство длин отрезков и величин углов. Этого же принципа придерживаются и авторы учебников, принятых в настоящее время в школе. Заметим, что пунктуальное применение терминов «конгруэнтность» и «равенство длин отрезков» привело бы к существенному утяжелению текста, не говоря уже о появлении таких «монстров», как «равновеличинобедренный треугольник» или «конгруэнтносторонний треугольник».
      Длина отрезка АВ здесь обозначается через |АВ|, как и принято сейчас в школе, но не применяются обозначения [АВ], ]АВ[, (АВ) для отрезка, интервала и прямой, а просто указывается, что именно имеется в виду: прямая АВ, отрезок АВ или интервал
      АВ. Такое указание невозможно в формуле, однако там фигурирует лишь длина отрезка, для которой есть четкое обозначение. Однако в этой книге рассматриваются также и направленные отрезки. В формулах они обозначаются просто через АВ, CD и т. д., а произведение направленных отрезков (лежащих на одной прямой), например, АВ и CD обозначается через АВ X CD, в то время как произведение длин этих отрезков обозначается через
      Употребление знака X в качестве знака умножения направленных отрезков существенно еще и потому, что через АВ-CD авторы книги обозначают точку пересечения прямых АВ и CD.
      Теперь несколько слов о терминологии. Существенную роль в тексте книги имеет поворот плоскости на 180°, названный авторами «half-turn» и переведенный как разворот. Хотя такое преобразование плоскости и совпадает с хорошо известной центральной симметрией, однако употребление термина центральная симметрия оказалось невозможным, поскольку свойства этого преобразования выводились из свойств поворота.
      Далее, сохранен термин «изометрия» вместо более привычного термина «движение», так как в тексте акцентируется именно сохранение расстояний при таких преобразованиях.
      Систематическое использование в книге термина «коллинеарность» привело к сохранению авторского термина «коллинеация» (collineation) для преобразований, переводящих прямые в прямые, вместо обычно употребляемого термина «аффинные преобразования».
      Последним терминологическим новшеством книги является употребление термина «дилатация» (от dilatation — расширение) для обозначения преобра-8
      зований плоскости, при которых каждая прямая переходит в параллельную ей прямую. Этот класс преобразований состоит из гомотетий и параллельных переносов, однако в русской математической литературе еще не было термина для обозначения этого весьма естественного класса преобразований.
      При переводе была существенно расширена библиография (добавленные книги отмечены звездочками). В их числе широкодоступные книги из серии «Популярные лекции по математике» [1], [2], [6], [12], [25], [32], [35], изучение которых даст возможность взглянуть на изложенные в этой книге вопросы с другой точки зрения (в частности, на конические сечения, изложение которых в этой книге весьма нетрадиционно). Желающим глубже познакомиться с рассматриваемой тематикой окажут помощь книги [14], [15], [18], [33], [44], [45], [46], достаточно доступные для широкого круга читателей.
      Я приношу искреннюю благодарность И. М. Яглому, чьи замечания и предложения существенно содействовали улучшению перевода этой книги.
      Также благодарю В. Г, Шнитке за помощь при переводе эпиграфов.
      А. П. Савин
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ
     
      Тот. кто ни во что не ставит евклидову геометрию, подобен человеку, который, вернувшись из чужих краев, поносит свой дом.
      Г. Фордер
     
      В программу по математике средней школы (США) входит годичный курс геометрии плоскости или курс геометрии и элементарной аналитической геометрии, называемый «математика-10». Обычно для ученика средней школы на этом и заканчивается знакомство с геометрией. В противоположность этому, математически одаренным школьникам программы средней школы дают возможность дальнейшего изучения элементарной алгебры, дополнительных ее глав и даже высшей алгебры. Поэтому естественно наблюдаемое пристрастие к алгебре и предубеждение против геометрии. Более того, введенные в заблуждение энтузиасты пытаются убедить учащихся, что геометрия находится «где-то в стороне от основного направления математики» и что анализ или теория множеств должны вытеснить ее.
      Возможно, тот факт, что в школьной программе геометрия занимает одно из последних мест, объясняется тем, что педагоги мало знают о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями. Мы имеем в виду многие блестящие результаты, такие, как теорема Брианшона (§9 гл. 3), теорема Фейербаха (§6 гл. 5), теорема Петерсона — ю
      Шута (§8 гл. 4) и теорема Морлея (§9 гл. 2). Как известно из истории, Евклид писал для зрелых людей, которые готовились изучать философию. И вплоть до нашего столетия одной из основных причин обучения геометрии было то, что ее аксиоматический метод считался лучшим введением в дедукцию. Естественно, что на этот формальный метод делался акцент в процессе обучения. Однако ни древние, ни современные геометры не боялись использовать менее ортодоксальные методы, когда это их устраивало. Если методы тригонометрии, аналитической геометрии или векторные методы подойдут, геометры их используют. Кроме того, они создали свои собственные современные методы, элегантные и мощные. Один из них — применение преобразований таких, как поворот, симметрия и подобие, что дало возможность доказать ряд теорем более рациональным способом, а также связать геометрию с кристаллографией и искусством. Этому «динамическому» аспекту геометрии посвящена глава 4. Другим является метод инверсивной гео-метрии, рассматривающий точки и окружности, при этом и прямая считается окружностью, проходящей через бесконечно удаленную точку. О некоторых особенностях этой геометрии рассказывается в главе 5, И, наконец, третий — метод проективной геометрии, который совсем не рассматривает расстояния и углы, а выделяет аналогию между точками и прямыми. В проективной геометрии не только через любые две точки проходит прямая, но и любые две прямые имеют точку пересечения; при этом параллельные прямые пересекаются на «бесконечно удаленной прямой». Изложению небольшого фрагмента этой темы посвящена глава 6.
      Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений. На свете еще есть геометрия, которая ждет,
      чтобы ее познали и оценили. Геометрия (особенно проективная геометрия) остается отличным средством введения учащихся в аксиоматику. Геометрия сохранила всегда присущую ей эстетическую привлекательность, и не поблекла красота ее результатов. Более того, для специалистов в чистой и прикладной математике геометрия стала еще более полезной и необходимой, чем она была когда-либо раньше. Возьмите, например, формы орбит искусственных спутников и четырехмерную геометрию пространства-времени.
      Геометрия росла. На протяжении веков были разработаны новые понятия и методы, которые будут для учащихся интересными и удивительными, если мы. приложим все усилия, чтобы донести до них эти -понятия. Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Возможно, мы снова сможем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией.
      Авторы приносят искреннюю благодарность доктору Аннелии Лаке за ее терпеливое сотрудничество и многие полезные предложения.
      Г. С. М. Коксетер С. Л. Грейтцер
      Торонто н Нью-Йорк, 1967


     
     
      СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ,
      ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КНИГЕ
     
      «Когда я употребляю какое-нибудь слово, — сказал Шалтай-Болтай довольно пре-врительно, — оно означает только то. что я хочу, чтобы оно означало. — ни больше, ни меньше.»
      Ч. Л. Доджсон
     
      Автополярный треугольник. Треугольник, вершины которого являются полюсами соответственно противоположных сторон.
      Антиподные точки на сфере. Концы диаметра.
      Асимптота к кривой. Касательная, точка касания которой находится в бесконечности.
      Бесконечно удаленная прямая. Идеальная прямая; каждому пучку параллельных прямых соответствует точка этой прямой, которая принимается за точку пересечения прямых этого пучка.
      Бесконечно удаленная точка. Идеальная точка, которая принимается за общую точку всех прямых в круговой плоскости, рассматриваемых как окружности бесконечного радиуса.
      Большой круг на сфере. Сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы.
      Вектор. См. параллельный перенос.
      Вневписанная окружность треугольника. Окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.
      Вписанный четырехугольник. Выпуклый четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности (при этом противоположные углы являются дополнительными).
      Высота треугольника. Отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение), заключенный между ними.
      Гипербола. Коническое сечение с эксцентриситетом е 1; при этом точка О находится вне окружности а (см. определение конического сечения).
      Асимптоты гиперболы. Поляры точек касания с окружностью а касательных, проведенных через точку О.
      Гномоническая проекция. Проекция сферы из ее центра на касательную к ней плоскость.
      Граничные точки пучка окружностей, задаваемого дву ня окружностями а и р. Две точки, принадлежащие одновременно всем окружностям, ортогональным как окружности а, так и окружности р.
      Дилатация. Преобразование, переводящее каждую прямую в параллельную ей прямую. Подобие, сохраняющее направления прямых.
      Директриса конического сечения. Поляра точки А относительно окружности о (см. определение конического сечения).
      Изометрия. Преобразование, сохраняющее длины. Движение.
      Инверсное расстояние между двумя непересекающимися окружностями. Натуральный логарифм отношения радиусов концентрических окружностей, в которые данные окружности могут быть переведены при помощи инверсии.
      Инверсор Поселье. Шарнирный инструмент, с помощью которого можно произвести инверсию заданного множества точек.
      Коллинеарность множества точек. Существование прямой, на которой находятся все точки этого множества.
      Коллинеация. Преобразование, переводящее прямые в прямые.
      Коническое сечение. Полярное преобразование окружности а (радиуса г с центром в точке А) относительно окружности со радиуса k с центром в точке О).
      Конгруэнтность. См. изометрия.
      Конкурентность прямых. Существование точки, через которую все эти прямые проходят.
      Круговая плоскость. Евклидова плоскость, дополненная одной идеальной точкой (см. бесконечно удаленная точка).
      Медиана треугольника. Чевиана, проходящая через середину стороны.
      Многоугольник. Замкнутая ломаная на плоскости.
      п-угольник. Многоугольник с п вершинам и п сторонами.
      Оболочка. Множество всех касательных к кривой.
      Образ точки Р при инверсии относительно окружности -со. Вторая точка пересечения двух окружностей, проходящих через точку Р ортогонально окружности со.
      Образ точки Р при симметрии относительно- прямой I. Вторая точка пересечения двух окружностей с центрами на прямой /, проходящих через точку Р.
      Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности, касательные к которым в точках пересечения ортогональны.
      Ортотреугольник треугольника АБС. Треугольник, вершины которого являются основаниями высот треугольника АБС.
      Ортоцентр треугольника. Точка пересечения его высот.
      Парабола. Коническое сечение с эксцентриситетом е = 1; при этом точка О лежит на окружности а (см. определение конического сечения).
      Параллелограмм Вариньона данного четырехугольника. Параллелограмм, образованный отрезками, соединяющими середины смежных сторон четырехугольника.
      Параллельный перенос. Преобразование, при котором направленные отрезки, "соединяющие точки с их образами, имеют одинаковые длины и направления. Иначе, дилатация, не имеющая неподвижных точек.
      Педальный треугольник точки Р относительно треугольника АБС. Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника АБС (или их продолжения).
      Поворот. Преобразование, являющееся результатом вращения всей плоскости вокруг точки на этой плоскости на заданный угол.
      Подобие. Преобразование, сохраняющее отношение расстояний.
      Полюс прямой р относительно окружности to с центром в точке О. Образ основания перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую р при инверсии относительно окружности со, нли, иначе, точка пересечения поляр любых двух точек, лежащих на прямой р.
      Поляра точки Р относительно окружности со. Прямая, соединяющая точку пересечения прямых АВ и DE с точкой пересечения прямых АЕ и BD, где AD и BE — две хорды окружности со, высекаемые двумя прямыми, - проходящими через точку Р.
      Полярная окружность. Окружность, при инверсии относительно которой вершины тупоугольного треугольника переходят в основания высот, или, иначе, окружность, относительно которой данный тупоугольный треугольник является автополярным.
      Полярное преобразование. Преобразование точек в их поляры, а прямых в их полюсы.
      Правильный многоугольник. Многоугольник, центр которого расположен на равном расстоянии R от всех его вершин и равном расстоянии г от всех его сторон.
      Преобразование плоскости. Отображение плоскости на себя такое, что каждая точка Р имеет единственный образ — точку Р', а каждой точке Q' соответствует единственный прообраз — точка Q.
      Проективная плоскость. Евклидова плоскость, дополненная идеальной прямой (см. бесконечно удаленная пряная).
      Произведение двух преобразований. Результат применения сначала первого преобразования, а потом второго.
      Пучок окружностей оф. Совокупность окружностей, ортогональных двум различным окружностям, которые б свою очередь ортогональны окружностям аир.
      Пучок прямых. Совокупность всех прямых' (на одной плоскости), проходящих через одну точку.
      Прямая Паскаля шестиугольника, вершины которого лежат на окружности или любом другом коническом сечении. Прямая, содержащая три точки пересечения пар противоположных сторон этого шестиугольника.
      Прямая Симеона точки Р, лежащей на окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Прямая, в которую вырождается педальный треугольник точки Р относительно треугольника ABC.
      Прямая Эйлера треугольника ABC. Прямая, на которой лежат ортоцентр, центроид и центр описанной окружности треугольника ABC.
      Прямое подобие. Коллинеация, при которой сохраняются углы и их знаки.
      Радикальная ось двух неконцентрических окружностей. Множество всех точек, имеющих одинаковую степень относительно этих окружностей.
      Радикальный центр трех окружностей с неколлинеарными центрами. Общая точка пересечения всех трех радикальных осей, каждая из которых является радикальной осью дбух из этих трех окружностей.
      Разбиение АС // BD (для любых четырех различных точек, лежащих в одной плоскости). Любая окружность, проходящая через точки А к С пересекает любую окружность, проходящую через точки В и D.
      Разворот. Поворот на 180“ или, иначе, центральная симметрия.
      Серединная окружность или окружность антиподобия. Окружность, при инверсии относительно которой две дачные окружности переходят одна в другую.
      Серединный треугольник треугольника ABC. Треугольник, образованный отрезками, соединяющими середины сторон треугольника.
      Симметрия относительно прямой I. Преобразование, которое переводит каждую точку плоскости в ее образ при симметрии отражения относительно этой прямой.
      Сложное отношение четырех точек
      Соосные окружности. Семейство окружностей, любая пара из которых определяет одну и ту же радикальную ось, или, иначе, окружности, ортогональные к двум данным.
      Сопряженные прямые. Прямая а и любая прямая, проходящая через полюс прямой а.
      Сопряженные точки. Точка А и любая точка, лежащая на поляре точки А.
      Спиральное подобие (или дилатационный поворот). Произведение поворота и дилатации или наоборот.
      Степень точки Р относительно окружности. Число d2 — R2, где d — расстояние от точки Р до центра окружности, a R — радиус окружности.
      Стереографическая проекция. Проекция из точки О сферы, проходящей через эту точку на плоскость, касающуюся сферы в точке, антиподной к точке О.
      Топология. Геометрия, рассматривающая взаимно однозначные и взаимно непрерывные преобразования.
      Точка Жергона треугольника ABC. Точка пересечения че-виан, проходящих через точки касания вписанной окружности со сторонами этого треугольника.
      Треугольник Наполеона для треугольника ABC.
      Внутренний. Треугольник, вершины которого являются центрами равносторонних треугольников, построенных внутрь на сторонах треугольника.
      Внешний. Треугольник, вершины которого являются центрами равносторонних треугольников, построенных снаружи на сторонах треугольника.
      Фокус конического сечения. Центр О окружности, относительно которой производится преобразование (см. определение конического сечения).
      Центральная дилатация. Дилатация, составляющая одну из точек неподвижной. Гомотетия.
      Центральное коническое сечение. Эллипс или гипербола.
      Центроид треугольника. Точка пересечения медиан.
      Чевиана. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной ей стороне (или ее продолжении).
      Четырехсторонник. См. четырехугольник.
      Четырехугольник. Многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами.
      Выпуклый четырехугольник. Обе диагонали лежат внутри него.
      Четырехугольник с входящим углом. Одна из диагоналей лежит внутри, а другая вне него.
      Скрещенный четырехугольник. Обе диагонали лежат вне него.
      Эксцентриситет конического сечения, (см. определение конического сечеиия).
      Эллипс. Коническое сечение с эксцентриситетом е 1, при этом точка О находится внутри окружности а (см. определение конического сечения).
     
      УКАЗАТЕЛЬ
     
      Автополярный треугольник 169, 179
      Антиинверсия 211 Аргунов В. И. 212 Артоболевский И. И. 135 Архимед из Сиракуз 17, 74 Асимптоты гиперболы 171 — 173, 179 Атанасян Л. С. 213
      Бакельман И. Я. 212 Белл Е. Т. 13, 43, 60, 74, 212 Бесконечно удаленная прямая 176
      — — точка 139, 176, 214 Биван Б. 33
      Биссектриса угла внешняя 26
      — — внутренняя 19 Болл У. У. Р. 212 Болтянский В. Г. 212 Больаи Я- 156 Боттема О. 26 Брахмагупта 73, 74 Брекенридж В. 94 Брианшон Ш. Ж. 95 Брунеллески Ф. 87
      Ван дер Варден Б. Л. 74, 212
      Вариньон П. 67
      Васильев Н. Б. 212
      Вектор 100, 214
      Взаимная простота 115
      Вольберг О. А. 212
      Высота 19
      Гарднер М. 25 N
      Гаусс К. Ф. 156
      Геометрия гиперболическая 156
      — инверсивная 108, 163
      — неевклидова 156
      — проективная 65, 168 Герон из Александрии 74 Гильберт Д. 212 Гипербола 171
      — прямоугольная 173 Гиперболическая геометрия 156 Гиперболические функции 157 Гипоциклоида 58 Гномоническая проекция 183,
      185, 214 Гомеоморфизм 124 Гомотетия 17, 90 Горнер В. Г. 60 Граничные точки 148 Грейтцер С. Л. 93 Гутенмахер В. Л. 212
      Даунс Ф. Л. 213 Декартовы координаты 43 Дельтоида 58 Джильберт Г. 25 Джонсон Р. А. 60, 212 Диаметрально противоположные точки 185 Дюрель С. В. 212
      Евклид из Александрии 13, 39, 174 е 153
      Задача о трех кувшинах 110 — Фаньяно 108 Зетель С. И. 212
      Идеальная прямая 183
      — точка 183 Инверсия 132 и далее
      — ,инверсивное определение
      ИЗ
      — относительно сферы 183 Инверсное расстояние 152, 215 Инверсор Поселье 135 Инцидентность 164 Искусственный спутник 183
      Казаринов Н. Д. 108, 212 Квадрат 82, 119 Кейси Д. 35, 138 Кеплер И. 39, 172 Коксетер Г. С. М. 93, 212, 213
      Коллинеарность 65 Комета 172, 209 Конгруэнтность 99 Коническое сечение 163, 170, 210, 215
      центральное 179
      Конкурентность 65 Конфигурация 155, 165 — двойственная 165 Кон-Фоссен С. 212 Коэффициент подобия 116 Круговая плоскость 138, 139, 183, 184 Курант Р. 108, 213 Курт Н. А. 213
      Лагранж Ж- 79 Лаплас П. 79 Лейбниц Г. В. 92 Лемус С. Л. 24
      Линейные преобразования 124, 158
      Липкин Л. 135 Лобачевский Н. И. 156 Логарифм (натуральный) 153 Локвуд Е. X. 135, 213 Лэмб Г. 71, 213
      Магнус Л. И. 132 Мак-Доннел Д. 25 Маклорен К. 94 Маркушевич А. И. 213 Медиана 18 Микель А. 77
      Многоугольник 65 Мозаика 201 Моиз Э. Э. 213
      Наложение карт 123 Наполеон Бонапарт 79 Нараньенгар М. Т. 61 Нейберг Ж. 35 Неподвижная точка 121 Ньютон И. 42, 92, 172
      Оболочка 166
      Образ (при инверсии) окружи ности 139
      — прямой 134
      — точки 133, 184, 215
      — треугольника 137 Окружности Содди 140, 161,
      207
      Окружность 39, 132
      — Аполлония 140
      — вневписанная 22
      — вписанная 20
      — девяти точек 31 — 33, 145, 161
      — инверсии 133
      — описанная 17, 41, 137
      — Эйлера 33 Оппенгейм А. 36 Орбита 172 Оре О. 213 Ортогональность 141 Ортотреугольник 19, 27, 108 Ортоцентрический четырехугольник 53, 147
      Отображение 99 Отражение 108
      Палиндром 79
      Папп из Александрии 84, 174, 179
      Парабола 171, 179, 215 Параллелограмм 67
      — Вариньона 67
      — вырожденный 100, 151, 206 Параллельный перенос 100, 213 Паскаль Б. 92, 176 Педальная точка 34 Педальный треугольник 34, 53,
      215
      Перельман А. И. 110
      Перспективность относительно прямой 86
      — — точки 86
      Перспективные треугольники 64, 86 Перфект Г. 213 Петард Г. 127 Петерсен Ю. 123, 213 Пидо Д. 213 Планеты 39, 172 Площадь 16
      — отрицательная 67
      — положительная 67 Поворот 100, 102, 119 Подобие 99, 116, 215
      — прямое 118
      Подобные треугольники 47, 77 Полюс 163 Поляра 163, 183 Полярная окружность треугольника 169, 216 Полярное преобразование 163, 216
      Понселе Ж- В, 32 Поризм Штейнера 154, 206, 211
      Поселье А. 135
      Правильный многоугольник 216 Преобразование 99 и далее
      — линейное 124
      — непрерывное 124 Приведение к абсурду 26 Принцип двойственности 165 Проективная геометрия 65, 168
      — плоскость 163, 176, 183, 185 Проекция гномоническая 183,
      185, 214
      — стереографическая 183, 185, 217
      Прокрустово растяжение 125 Прямая Паскаля 93, 216
      — Симеона 53 — 55, 57, 78
      — Эйлера 30, 170, 190, 194, 216
      Пучок окружностей 48, 216 Пятиугольник 64, 66, 97
      Равносторонний треугольник 38, 78, 194 Радикальная ось 46, 97, 151, 193, 216 Радикальный центр 48, 51 Разбиение 127, 216
      Разворот 33, 99, 105, 118 Роббинс Г. 108, 213 Розенфельд Б. А. 213 Рычажный механизм 135
      Самосопряженная прямая 167
      — точка 167 Сергеева Н. Д. 213 Серединная окружность 150 Серединный треугольник 28 Симметрия 180
      Симеон Р. 17, 55 Скопец 3. А. 213 Скорняков Л. А. 212 Сложное отношение 131, 133, 186, 217 Смогоржевский А. С. 95, 213 Соосные окружности 47, 148, 170, 217 Сопряженные прямые 167
      — точки 167 Сохранение углов 141 Степень точки 39, 42 Стереографическая проекция
      183, 185, 217 Стюарт М. 17
      Теорема Брианшона 95, 97, 177
      — Вариньона 65 и далее
      — косинусов 73
      — о бабочке 59, 195
      о центре вращения 77
      — Паппа 84
      — Паскаля 92, 200
      — Петерсена — Шута 123
      — Птолемея 55, 131, 197
      — Стюарта 17, 43, 190
      — Фейербаха 33, 145
      — Чевы 15, 67
      — Штейнера — Лемуса 24 Тождественное преобразование 100
      Точка Жергона 23
      — Ферма 103 Траектория 182 Треугольник Боттемы 189
      — Наполеона внешний 79, 124 внутренний 79
      — равносторонний 38, 78, 194
      — центров 78
      Треугольника неравенство 204
      Треугольники Наполеона 76, 217
      Трехпараметрнческое семейство 156
      Трилинейные координаты 110 Трисекция угла 61
      Угол отражения 108 — падения 108
      Ультрапараллельные плоскости 156
      Фаньяно Д. Ф. Т. 108 Фейербах К. 33 Фейеш Тот Л. 213 Ферма П. 44, 82 Флобер Г. 163 Фокус 163, 173 Фордер Г. Г. 92, 123, 213 Формула Брахмагупты 73 — Герона 74
      Функции гиперболические 157 Функция показательная 157
      Харди Г. X. 213
      Центр конического сечения 180 — тяжести 18
      Центроид 18 Цепная линия 160
      Чева Д. 15 Чевиана 15 Ченцов Н. Н. 213 Четырехсторонник полный 165 Четырехугольник вписанный 72
      — выпуклый 66
      — ортоцентрический 53, 147
      — полный 165
      — с входящим углом 66
      — скрещенный 66
      Шварц Г. А. 108 Шерватов В. Г. 213 Шествие углов 36 Шестиугольник 90, 210 Шклярский Д. О. 213 Штейнер Я. 24, 43 Шут Р. Г. 123
      Эйлер Л. 30, 41, 160 Эксцентриситет 171 Эллипс 171
      Юпитер 209
      Яглом И. М. 47, 80, 213 Якобиан 206

 

 

ХОЧУ ВСЁ ЗНАТЬ (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ЮНЫЙ ТЕХНИК (кнопка меню sheba.myjino.ru)   ДОМОВОДСТВО (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Учебники ля ВУЗ-ов (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Радиоспектакли (кнопка меню sheba.myjino.ru)   Юный книголюб (кнопка меню sheba.myjino.ru)


ТС БК-МТГК 2015—3015 karlov@bk.ru — Борис Карлов